Question

设函数f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)，x∈R
（Ⅰ）若 f(x)=1-

3

且x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（Ⅱ）若函数y=2sin2x的图象按向量

c

=(m，n)（|m|＜

π

2

）平移后得到y=f（x）的图象，求出m，n的值；
（Ⅲ）若存在两个不同的x∈[-

π

3

，

π

3

]，使得f（x）=a，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标运算及两角和与差的正弦公式将f（x））=

a

•

b

转化为f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，依题意，利用正弦函数的定义域与值域即可求得x的值；
（Ⅱ）令y=g（x）=2sin2x，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得f（x）=g（x-m）+n，从而可求得m，n的值；
（Ⅲ）利用正弦函数的图象与性质及函数f（x）=a的零点的概念，通过数形结合即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x
=1+cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

）+1
=1-

3

，
∴sin（2x+

π

6

）=-

3

2

，
∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，
∴-

π

2

＜2x+

π

6

＜

5π

6

，
∴2x+

π

6

=-

π

3

，
∴x=-

π

4

．
（Ⅱ）∵函数y=g（x）=2sin2x的图象按向量

c

=（m，n）平移后得到y=f（x）的图象，
∴f（x）=g（x-m）+n=2sin2（x-m）+n=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴-2m=2kπ+

π

6

（k∈Z），且n=1，
∴m=-kπ-

π

12

（k∈Z），且n=1，
又|m|＜

π

2

，
∴m=-

π

12

，n=1．
（Ⅲ）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
又x∈[-

π

3

，

π

3

]，

∴-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-2≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
-1≤2sin（2x+

π

6

）+1≤3，
又f（x）=a在[-

π

3

，

π

3

]上有两解，
∴直线y=a与曲线y=f（x）在x∈[-

π

3

，

π

3

]上有两个交点，
∴2≤a＜3．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考查向量的数量积的坐标运算及两角和与差的正弦公式与正弦函数的图象与性质，属于难题．