Question

【题目】定义函数F（a，b）= （a+b﹣|a﹣b|）（a，b∈R），设函数f（x）=﹣x2+2x+4，g（x）=x+2（x∈R）函数F（f（x），g（x））的最大值与零点之和为（ ）
A.4
B.6
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵F（a，b）= （a+b﹣|a﹣b|）= ，
∴设G（x）=F（f（x），g（x））= ．
∵当﹣1≤x≤2时，f（x）≥g（x），此时G（x）=x+2∈[1，4]，
此时函数无零点，此时最大值为4，
当x＞2或x＜﹣1时，f（x）＜g（x），G（x）=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣1）2+3＜4，
综上可得，函数G（x）的最大值为4，
由G（x）=﹣x2+2x+4=0，得方程的两根之和为2，
则函数F（f（x），g（x））的最大值与零点之和为2+4=6，
故选：B．

【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．