Question

已知圆C：x²+y²=16，点P（3，

7

）．
（1）求以点P（3，

7

）为切点的圆C的切线所在的直线方程；
（2）求过点P（2，3）且被圆C：x²+y²=16截得弦长为2

7

的直线的方程．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质，以点P为切点的切线与过切点的半径垂直，由此利用直线的斜率公式求出切线的斜率，根据直线方程的点斜式方程列式，化简即可得出所求切线的方程；
（2）设过点P（2，3）的直线为y-3=m（x-2），根据垂径定理结合题中数据算出圆心到直线的距离等于3，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，解出m的值，即可求出所求直线的方程．

解答：解：（1）设以点P（3，

7

）为切点的切线斜率为k，
∵切点所在的半径OP的斜率为kOP=

7 -0

3-0

=

7

3

，
∴切线的斜率k=

-1

kOP

=-

3 7

7

，
可得切线的方程为y-

7

=-

3 7

7

（x-3），化简得3x+

7

y-16=0；
（2）设过点P（2，3）的直线为y-3=m（x-2），即mx-y-2m+3=0
∵圆C：x²+y²=16的圆心为原点，半径r=4
∴设弦长为2

7

的直线到圆心的距离为d，可得d=

r2-7

=3
根据点到直线的距离公式，得

|-2m+3|

m2+1

=3，解之得m=0或m=-

12

5

∴所求直线方程为y=3或y-3=-

12

5

（x-2），化简得y=3或12x+5y-39=0．

点评：本题着重考查了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．