Question

【题目】在四棱锥中，平面，，，，，为棱上的点.

（Ｉ）若，求证：平面.

（Ⅱ）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ｉ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ｉ）作出辅助线，证明线线平行可得线面平行或者利用空间向量，求解平面法向量，利用直线的方向向量与法向量垂直可证线面平行；

（Ⅱ）先求解平面的法向量，利用公式可求直线与平面所成角的正弦值.

（Ⅰ）解法1：连BD，令，

，，，

又，，，

且面ACE，面ACE，平面ACE.

（Ⅰ）解法2：过A作面ABCD，以A为原点，如图建系.由题意求得

，，，.

，，设，由，

得.

设平面ACE的一个法向量为，则，即，，令，则，，，

且平面ACE，平面ACE.

（Ⅱ）以A为原点，如图建系，由题意求得

，，，

，，，

设平面ACE的一个法向量为，则，即，

，令，则，，.

直线PB与平面ACE所成角的正弦值.