Question

已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=

15

4

．

Answer 1

分析：根据题意，将x=2、x=-2分别代入f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2可得，f（2）+g（2）=a²-a^-2+2，①和f（-2）+g（-2）=a^-2-a²+2，②，结合题意中函数奇偶性可得f（-2）+g（-2）=-f（2）+g（2），与②联立可得-f（2）+g（2）=a^-2-a²+2，③，联立①③可得，g（2）、f（2）的值，结合题意，可得a的值，将a的值代入f（2）=a²-a^-2中，计算可得答案．

解答：解：根据题意，由f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2，
则f（2）+g（2）=a²-a^-2+2，①，f（-2）+g（-2）=a^-2-a²+2，②
又由f（x）为奇函数而g（x）为偶函数，有f（-2）=-f（2），g（-2）=g（2），
则f（-2）+g（-2）=-f（2）+g（2），
即有-f（2）+g（2）=a^-2-a²+2，③
联立①③可得，g（2）=2，f（2）=a²-a^-2
又由g（2）=a，则a=2，
f（2）=2²-2^-2=4-

1

4

=

15

4

；
故答案为

15

4

．

点评：本题考查函数奇偶性的应用，关键是利用函数奇偶性构造关于f（2）、g（2）的方程组，求出a的值．