Question

（2009•武汉模拟）已知椭圆C的两个焦点分别为F₁和F₂，且点A（-

5

，0），B（

5

，0）在椭圆C上，又F1(-

5

，4)．
（1）求焦点F₂的轨迹C的方程；
（2）若直线y=kx+b（k＞0）与曲线C交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|，知|AF₂|-|BF₂|=|BF₁|-|AF₁|=2，故轨迹F为以A、B为焦点的双曲线的右支．由此能求出轨迹方程．
（2）由

x2- y2 4 =1(x＞0) y=kx+b

，得方程（4-k²）x²-2kbx-（b²+4）=0有两个正根x₁，x₂．所以

△=4k2b2+4(4-k2)( b2+4)＞0 x1x2= b2+4 k2-4 ＞0 x1+x2= -2kb k2-4 ＞0

，由此能求出b的取值范围．

解答：解：（1）|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|，
∴|AF₂|-|BF₂|=|BF₁|-|AF₁|=6-4=2，
故轨迹F为以A、B为焦点的双曲线的右支．
设其方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，x＞0)，
∵2a=2，
∴a=1，b²=c²-a²=4．
故轨迹方程为x2-

y2

4

=1(x＞0)．…（6分）
（2）由

x2- y2 4 =1(x＞0) y=kx+b

，消去y整理，得
方程（4-k²）x²-2kbx-（b²+4）=0有两个正根x₁，x₂．
∴

△=4k2b2+4(4-k2)( b2+4)＞0 x1x2= b2+4 k2-4 ＞0 x1+x2= -2kb k2-4 ＞0

，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由条件知x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²+b²，
∴（k²+1）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=0，
即

(k2+1)(b2+4)

k2-4

-

2k2b2

k2-4

+b2=0，
整理得3b²=4（k²+1），即b2=

4

3

(k2+1)，
∴b²-k²+4＞0，
即

4

3

(k2+1)-k2+4＞0显然成立．
∴

k2＞4 kb＜0

而k＞0，∴b＜0．
∴b2=

4

3

(k2+1)＞

4

3

(4+1)=

20

3

．
∴b＜-

20 3

=-

2 15

3

．
故b的取值范围为（-∞，-

2 15

3

）．…（13分）

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．