Question

【题目】（本小题满分12分）已知函数，其中，且．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）函数的定义域为，．………………1分

当时，，函数在区间上是增函数；………………2分

当时，由，得；由，得，………………3分

所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数．………………4分

综上：当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为,单调减区间为．………………5分

（2）不等式．………………6分

当时，取，，不合题意；………………7分

当时，令，则问题转化为恒成立时，求的取值范围．………8分

由于．令，得，则

当时，，当时，，

所以，函数的最大值为，………………10分

于是由题意知，解得，

故实数的取值范围是．………………12分

【命题意图】本题主要考查导数与单调性的关系、不等式恒成立，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，考查转化思想与分类讨论思想、构造法的应用．