Question

【题目】已知椭圆经过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点在轴上的射影为点，过点的直线与椭圆相交于， 两点，且，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查求椭圆标准方程，根据点在椭圆上，代入得，又离心率，于是可以求出的值，得到椭圆标准方程；（Ⅱ）点在轴上的射影的坐标为，过点N的直线分两种情况进行讨论，当斜率为0时，经分析，不满足，当的斜率不为0时，可设方程为，与椭圆方程联立，消元，得到关于的一元二次方程，设， ，由，得，于是可以根据前面的关系式求出的值，得到直线方程.

试题解析：（Ⅰ）由已知可得， ，解得， ，

所以椭圆Γ的方程为．

（Ⅱ）由已知N的坐标为，

当直线斜率为0时，直线为轴，易知不成立．

当直线斜率不为0时，设直线的方程为，

代入，整理得， ，

设， 则

，① ，②

由，得，③

由①②③解得．

所以直线的方程为，即．