Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的右焦点F₂（1，0），离心率为

1

2

，已知点M坐标是（0，3），点P是椭圆C上的动点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求|PM|+|PF₂|的最大值及此时的P点坐标．

Answer 1

分析：（1）由题可得c=1，e=

c

a

=

1

2

，解得a=2，则b=

a2-c2

=

3

，由此能求出椭圆E的方程．
（2）由点M是圆C：x²+（y-3）²=1上的动点，知|PM|≤|PC|+1．设椭圆的左焦点为F₁（-1，0），依据椭圆的定义知，|PF|=4-|PF₁|，故|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF₁|=|PC|-|PF₁|+5≤|CF₁|+5，由此能求出|PM|+|PF₂|的最大值及此时的P点坐标．

解答：解：（1）由题可得c=1，e=

c

a

=

1

2

，解得a=2，
则b=

a2-c2

=

3

，
椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；（2分）
（2）∵点M是圆C：x²+（y-3）²=1上的动点，
∴|PM|≤|PC|+1，（3分）
设椭圆的左焦点为F₁（-1，0），
依据椭圆的定义知，|PF|=4-|PF₁|，（5分）
∴|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF₁|=|PC|-|PF₁|+5≤|CF₁|+5，
当点P是CF₁延长线与椭圆的交点时，
|PC|-|PF₁|取得最大值|CF1|=

10

，
∴|PM|+|PF|的最大值为

10

+5，（7分）
此时直线CF₁的方程是y=3x+3，
点P的坐标是方程组

y=3x+3 x2 4 + y2 3 =1

的解，
消去y得，13x²+24x+8=0，（9分）
解得x=

-12±2 10

13

，
根据图形可知xp=

-12-2 10

13

，yp=

3-6 10

13

，（10分）
此时的P点坐标为（

-12-2 10

13

，

3-6 10

13

）．（12分）

点评：本题考查求椭圆的方程；求线段和的最大值及此时的对应点坐标．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．