Question

【题目】四棱锥中，平面，，，，，．

（1）求证: 平面平面;

（2）为棱上异于的点，且，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）根据相似三角形，证得，又由平面，得到 ，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面．

（2）以为原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，，利用以，求得，得到，再求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

（1）证明：在与中，因为， ，

所以，,即，所以.

因为,所以,所以．

因为平面，平面，所以 ，

又，所以平面，

又平面， 所以平面平面．

（2）过作，因为平面，所以平面，即两两相垂直，以为原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，

因为，，，

所以，，，，，

，，，

设，．则，

.

因为，所以，即，

解得，或．因为，所以．

所以，即．

设为平面的一个法向量，则，

所以取，

设直线与平面所成角为，

,

所以直线与平面所成角的正弦值．