Question

【题目】已知函数

（1）若直线与的图象相切，求实数的值；

（2）设，讨论曲线与曲线公共点的个数；

（3）设，比较与的大小，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，详情见解析（3），证明见解析

【解析】

（1）设切点为，由，切点过直线联立求解即可；

（2）求曲线与曲线公共点的个数即求与的公共点个数，通过研究导数性质确定函数增减性，讨论与函数最值点大小即可；

（3）可先通过试值，预判，原不等式可表示为，变形得，再令，再结合换元法和构造函数法即可求证

（1）设切点为，则，又切点过直线，所以，联立求解可得，；

（2）原题可等价转化为求与的公共点个数，

令，令可得，当时，，单增；当时，，单减；故，

又当时，，当时，由幂函数的增长性远远大于对数函数可知，，故的大致图像为

当时，与有两个共同点；

当时，与有一个公共点；

当时，与无公共点；

（3），证明如下，要证，即证，即，令，则原式变为，即，

令，则，故在上单增，所以当，又，所以恒成立，原式得证