Question

设A，B，C∈（0，

π

2

），且sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，则B-A等于（　　）

• A．-

  π

  3

• B．

  π

  3

• C．-

  π

  6

• D．

  π

  3

  或-

  π

  3

Answer 1

分析：由已知的两等式分别表示出sinC和cosC，利用同角三角函数间的基本关系得到sin²C+cos²C=1，将表示出的sinC和cosC代入利用完全平方公式展开，并利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（A-B）的值，由正弦定理化简sinC=sinA-sinB得：c=a-b＞0，即a＞b，再利用大边对大角得到A大于B，即A-B大于0，利用特殊角的三角函数值求出A-B的度数，进而确定出B-A的度数．

解答：解：∵sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，
∴sinC=sinA-sinB，cosC=cosB-cosA，
又sin²C+cos²C=1，
∴（sinA-sinB）²+（cosB-cosA）²=1，
即sin²A-2sinAsinB+sin²B+cos²B-2cosAcosB+cos²A=1，
整理得：cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=

1

2

，
由正弦定理化简sinC=sinA-sinB得：c=a-b＞0，即a＞b，
又A，B，C∈（0，

π

2

），
∴0＜A-B＜

π

2

，
则A-B=

π

3

，即B-A=-

π

3

．
故选A

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．