Question

【题目】自选题：已知曲线C1： （θ为参数），曲线C2： （t为参数）．
（1）指出C1 ， C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（2）若把C1 ， C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′．写出C1′，C2′的参数方程．C1′与C2′公共点的个数和C与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为x2+y2=1，

圆心C1（0，0），半径r=1．C2的普通方程为 ．

因为圆心C1到直线 的距离为1，

所以C2与C1只有一个公共点．

（2）解：压缩后的参数方程分别为C1′： （θ为参数）；

C2′： （t为参数）．

化为普通方程为：C1′：x2+4y2=1，C2′： ，

联立消元得 ，

其判别式 ，

所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同

【解析】（1）先利用公式sin2θ+cos2θ=1将参数θ消去，得到圆的直角坐标方程，利用消元法消去参数t得到直线的普通方程，再根据圆心到直线的距离与半径进行比较，从而得到C1与C2公共点的个数；（2）求出压缩后的参数方程，再将参数方程化为普通方程，联立直线方程与圆的方程，利用判别式进行判定即可．
【考点精析】本题主要考查了直线的参数方程和圆的参数方程的相关知识点，需要掌握经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）；圆的参数方程可表示为才能正确解答此题．