Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，∠PAD＝90°，CD∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝3CD＝3PAAD＝3.

（1）求证：BD⊥PC；

（2）求点A到平面PCD的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接AC，交BD于E，推导出AC⊥BD，PA⊥AD，从而PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，进而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥PC.
（2）由VA﹣PCD＝VP﹣ACD，能求出点A到平面PCD的距离.

（1）证明：连接AC，交BD于E，

由已知，在Rt△DAB中，∠DBA＝30°，在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，

∴∠CAB＝60°，∴∠AEB＝90°，∴AC⊥BD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，PA⊥AD，平面，∴PA⊥平面ABCD，

平面，∴PA⊥BD，

∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，

平面，∴BD⊥PC；

（2）解：设点到面的距离为，点到面的距离为，

∵VA﹣PCD＝VP﹣ACD，∴，

∵PA⊥平面ACD，∴hP＝PA＝1，

∴，

解得点A到平面PCD的距离hA.