Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1 ．

（1）若点Q的坐标为（1， ），求椭圆C的方程；
（2）求证：k1k为定值；
（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2 ，求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由条件得： ，解得a=2，b= ，

∴椭圆方程为 =1

（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由于A，B为椭圆上的点，

∴ ， ，

两式相减得： + =0，即 =﹣ =﹣ ，

∵k1= ，k= ，

∴k1=﹣ ，即k1k=﹣ ．

∵e= = ，∴ = = ，

∴k1k=﹣

（3）解：设Q（s，t）（s＞0，t＞0），则P（﹣s，﹣t），R（﹣s，0），

∴kQR= = ，

∵直线AB和直线QR倾斜角互补，

∴ =﹣k1，又k1k=﹣ ，且k＞0，

∴k= ，

又S△PQR=st=2 ， =k= ，

∴s=2，t= ，即Q（2， ），

∴ =1，又 ，

∴a=2 ，b=3，

∴椭圆方程为

【解析】（1）将点Q的坐标代入椭圆方程，再根据椭圆的离心率公式e=及椭圆中a2=b2+c2，得到关于a、b、c的三个方程：（2）设出点A、点B及AB中点的坐标，然后利用”点差法“及斜率公式k=分别将k1、k用点的坐标表示出来；（3）设出点Q的坐标，根据P、Q、R三点间的位置关系将点P、点R的坐标用点Q的坐标表示出来，然后根据直线斜率公式k=将直线QR的斜率用点Q、点R的坐标表示找出k1与k的关系，与k1k=-联立解出k,再将S用点的坐标表示并将点Q的坐标解出后代入椭圆方程.