Question

【题目】若正整数数列，满足：对任意，，都有恒成立，则称数列，为“友好数列”.

（1）已知数列，的通项公式分别为，，求证：数列，为“友好数列”；

（2）已知数列，为“友好数列”，且，求证：“数列是等差数列” 是“数列是等比数列”的充分不必要条件.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.

【解析】

（1）根据错位相减法，结合等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；

（2）根据充分不必要条件的定义，结合友好数列的定义进行证明即可.

（1）因为数列，的通项公式分别为，，

所以有，

令

所以有，得：

所以，

而，因此有对任意，，都有

恒成立，所以数列，为“友好数列”；

（2）因为数列，为“友好数列”，所以对任意，，都有

恒成立，

因此有，得：

，

若数列是等差数列，则有，已知数列是正整数数列，因此有

，因此数列是等比数列；

若数列是等比数列，设公比为，则有，显然只有当时，数列是等差数列，因此由数列是等差数列能推出数列是等比数列，但由数列是等比数列不一定能推出数列是等差数列，因此“数列是等差数列”是“数列是等比数列”的充分不必要条件.