Question

【题目】设函数

（1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.

（2））讨论在上的单调性；

（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3），见解析

【解析】

（1）根据单调区间判断出是极值点，由此根据极值点对应的导数值为求解出的值，并注意验证是否满足；

（2）先求解出，然后结合所给区间对进行分类讨论，分别求解出的单调性；

（3）构造函数，分析的取值情况，由此求解出的取值范围；将证明通过条件转化为证明，由此构造新函数进行分析证明.

（1）由于函数函数在上递增，在上递减，

由单调性知是函数的极大值点，无极小值点，所以，

∵，

故，此时满足是极大值点，

所以；

（2）∵，

∴，

①当时，在上单调递增.

②当，即或时，，

∴在上单调递减.

③当且时，

由 得.

令得；令得.

∴在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，在上递增；

当或时，在上递减；

当且时，在上递增，在上递减.

（3）令，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故在处取得最小值为

又当，由图象知：

不妨设，则有，

令

在上单调递增，故

即，