Question

【题目】如图：在三棱锥中，是直角三角形，，点分别为的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）连结BD，根据题意可知BD⊥AC，EF∥AC，从而得到，又因为PB⊥面ABC，得到PB，利用线面垂直的判定定理，证得平面PBD；

（Ⅱ）根据题意，建立适当的坐标系，根据题中所给的边长，确定对应点的坐标，分别求出两个平面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值，从而求得结果.

（Ⅰ）证明：连接BD、在△ABC中，∠B=90°．

∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC．

∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，

,又∵PB⊥面ABC，EF平面ABC,∴PB,

平面PBD；

（Ⅱ）∵∴PB=BC=2

如图建立空间直角坐标系，

则E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则

=(-1,2,0), =(-1,0,2)

设平面PEC的一个法向量为=（x，y，z），

则 =0， =0

即

令x=2,得y=1,z=1

∴=(2,1,1),由已知可得，向量=(2,0,0)为平面PBC 的法向量

∴cos<,>== ，

∴二面角E-PC-B的余弦值为 ．.