Question

【题目】已知函数，

(Ⅰ)若讨论的单调性；

(Ⅱ)若过点可作函数图象的两条不同切线，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) ．

【解析】试题分析：(Ⅰ)分 讨论函数的单调性；(Ⅱ)求出经过点P的切线方程，由 在切线上，得到 ，问题转化为有两个不同的正数解，令，由单调性求出a的范围.

试题解析：(Ⅰ)

①当时， ,此时, 上是减函数

②当时, ,得；

，得

此时, 在上单调递减，在是增函数

③当时，解，得，

此时, 在和是减函数，在是增函数

(Ⅱ)设点是函数图象上的切点，则过点的切线的斜率为，

所以过点的切线方程为．

因为点在切线上，所以

即．

若过点可作函数图象的两条不同切线，

则方程有两个不同的正数解．

令，则函数与轴正半轴有两个不同的交点．

令，解得或．

因为， ，

所以必须，即．

所以实数的取值范围为．