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    【题目】如图，在平面四边形ABCD中， .

    (1)若，求的大小；

    (2)设△BCD的面积为S，求S的取值范围.

    【答案】(1) . (2)

    【解析】

    （1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，进而在△BCD中，由正弦定理可求sin∠CDB，求得∠CDB，即可得解∠CBD＝60°﹣∠CDB＝15°．

    （2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°﹣θ．在△BCD中，由正弦定理可求BC＝4sin（60°﹣θ），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S＝2sin（2θ+30°），结合范围0°＜θ＜60°，利用正弦函数的性质可求S的取值范围．

    （1）

    在中，因为，

    则，所以.

    在中，因为，

    由，得，则.

    所以.

    （2）设，则.

    在中，因为，则.

    所以

    .

    因为，则，所以.

    故的取值范围是

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    【题目】设函数．

    （1）求函数的零点；

    （2）当时，求证：在区间上单调递减；

    （3）若对任意的正实数，总存在，使得，求实数的取值范围．

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    【题目】2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图。

    （1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；

    （2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；

    （ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数。

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    【题目】甲、乙两品牌计划入驻某商场，该商场批准两个品牌先进场试销天。两品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出件以内（含件）的产品，每件产品返利元，超出件的部分每件返利元；乙品牌每天固定返利元，且每卖出一件产品再返利元。经统计，两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下：

    （Ⅰ）现从乙品牌试销的天中随机抽取天，求这天的销售量中至少有一天低于的概率.

    （Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：

    ①记甲品牌的日返利额为（单位：元），求的分布列和数学期望；

    ②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.

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    【题目】已知函数．

    （1）求证：函数是偶函数；

    （2）设，求关于的函数在时的值域的表达式；

    （3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出户（，）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了，而从事水果销售的农户平均每户年收入为万元.

    （1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？

    （2）若一年后，该村平均每户的年收入为（万元），问的最大值是否可以达到2.1万元？

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    【题目】如图1,在正方形中，是的中点，点在线段上,且.若将 分别沿折起，使两点重合于点,如图2.

    图1 图2

    (1)求证:平面；

    (2)求直线与平面所成角的正弦值.

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    【题目】已知平面向量，，满足：，的夹角为，||＝5，，的夹角为，||＝3，则的最大值为_____．

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    【题目】设有二元关系，已知曲线.

    （1）若时，正方形的四个顶点均在曲线上，求正方形的面积；

    （2）设曲线与轴的交点是，抛物线与轴的交点是，直线与曲线交于，直线与曲线交于，求证直线过定点，并求该定点的坐标；

    （3）设曲线与轴的交点是，，可知动点在某确定的曲线上运动，曲线上与上述曲线在时共有4个交点，其坐标分别是、、、，集合的所有非空子集设为，将中的所有元素相加（若只有一个元素，则和是其自身）得到255个数，求所有正整数的值，使得是一个与变数及变数均无关的常数.

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