Question

设点P是曲线y=x²上的一个动点，曲线y=x²在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=x²的另一交点为Q，则PQ的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：设出P点坐标，求导得直线l的斜率，则过点P且与直线l垂直的直线方程可求，和抛物线联立后求出Q点的坐标，利用两点式写出PQ的距离，先利用换元法降幂，然后利用导数求最值．
解答：解：设，由y=x²得，
所以过点P且与直线l垂直的直线方程为．
联立y=x²得：．
设Q（x₁，y₁），则，所以，
．
所以|PQ|=
=
=
．
令t=．
g（t）=．
则，
当t∈（0，2）时，g^′（t）＜0，g（t）为减函数，
当t∈（2，+∞）时，g^′（t）＞0，g（t）为增函数，
所以．
所以PQ的最小值为．
故答案为．
点评：本题考查了利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，解答此题的关键是把高次幂的函数式通过换元降幂，是中档题．