Question

已知的导函数，且，设，
且．
（Ⅰ）讨论在区间上的单调性；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：．

Answer 1

减 ， 和增 ；（2）（3）详见解析

解析试题分析：（Ⅰ）利用 的导函数找到原函数即可研究 的单调性, （Ⅱ）把证明不等式转化为证明不等式 ,然后通过求导研究函数的值域, （Ⅲ）难点①转化，②注意运用第（Ⅱ）问产生的新结论.导致③放缩后进行数列求和.
试题解析：（Ⅰ）由 且 得. 定义域为 
 
令 ,得 或  
当 时,由,得 ;由 ,得,或
 在 上单调递减,在 和 上单调递增.
当 时, 由,得 ;由 ,得,
 在 上单调递减,在上单调递增.
（Ⅱ）设 ,令 ,得, ,得,
 在 上单调递减,在上单调递增.
 在 处有极大值,即最大值0, 同理可证 , 即 
（Ⅲ）由（2）知，

又

即当时取等号.
考点：导数运算及运用导数研究函数的性质,数列求和及不等式中的放缩法的运用.