Question

已知.
（1）求的极值，并证明：若有；
（2）设，且，，证明：，
若，由上述结论猜想一个一般性结论（不需要证明）；
（3）证明：若，则.

Answer 1

(1)详见解析；(2) 详见解析；(3) 详见解析.

解析试题分析：(1)利用求导探求函数的单调性，进而确定其极值；借助结论时恒成立，证明；（2）借助第一问的结论，通过拼凑技巧进行构造要证明的不等式；（3）借助第二问的猜想结论，进行构造，利用对数运算进行化简整理即可得到证明的结论.
试题解析：（1）则
当x∈（0，1）时，x∈（1，＋∞）时，
∴在（0，1）递增，在（1，＋∞）递减，
                                              2分
∴当时恒成立，即时恒成立。
∴         4分
证明：，
（2）证明：设，且，令，则，且
，，
由（1）可知   ①
              ②
①+②，得

∴      8分
猜想：若，且时有
       9分
（3）证明：令
由猜想结论得

=
∴，
即有。                   14分
考点：(1)函数的极值；（2）不等式的证明.