Question

【题目】已知圆和圆．

(1)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；

(2)设为平面上的点，满足:存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．

Answer 1

【答案】(1)或；(2) 或

【解析】

（1）因为直线过点，故可以设出直线的点斜式方程，又由直线被圆截得的弦长为，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到关于直线斜率的方程，解方程求出值，代入即得直线的方程；

（2）与（1）相同，我们可以设出过点的直线和的点斜式方程，由于两直线斜率积为1，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 故我们可以得到一个关于直线斜率的方程，解方程求出值，代入即得直线和的方程.

(1)由于直线与圆不相交，

所以直线的斜率存在，设直线方程为 ，

圆的圆心到直线的距离为，

因为直线被圆截得的弦长为 ，

所以 ，

又 ，从而

即或

所以直线的方程为或 .

(2) 设点满足条件，

由题意分析可得直线和的斜率均存在且不为0，

不妨设直线的方程为，

则直线方程为 ，

因为和的半径相等，及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，

所以圆的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等，

即

整理得

即

或

因为的取值有无穷多个，所以 或

解得 或

这样的点只可能是点 或点 .