Question

20．若函数y=f（x）的图象上存在不同两点M、N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数y=f（x）的一对“和谐点对”（点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和谐点对”）．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≤0}\\{|lnx|，x＞0}\end{array}\right.$则此函数的“和谐点对”有（　　）

• A． 0对
• B． 1对
• C． 2对
• D． 4对

Answer 1

分析 令f（x）+f（-x）=0，根据图象判断方程的根的个数，得出结论．

解答 解：若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≤0}\\{-lnx，0＜x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，
令f（x）+f（-x）=0，
若0＜x＜1，则-lnx-x³+3x=0，即lnx=-x³+3x，
作出y=lnx与y=-x³+3x的函数图象，

由图象可知两函数在（0，1）上无交点，
若x≥1，则lnx-x³+3x=0，即lnx=x³-3x，
作出y=lnx与y=x³-3x的函数图象，

由图象可知两函数在（1，+∞）上有1个交点，
所以，f（x）只有1对“和谐点对”．
故选B．

点评 本题考查了方程根与函数图象的关系，属于中档题．