Question

（2013•闸北区一模）设双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为

10

3

．

Answer 1

分析：由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，得到A、F两点的坐标．因此可得设BF的方程为y=±

4

3

（x-5），与双曲线的渐近方程联解得到点B的坐标，即可算出△AFB的面积，得到本题答案．

解答：解：根据题意，得a²=9，b²=16，
∴c=

a2+b2

=5，且A（3，0），F（5，0），
∵双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的渐近线方程为y=±

4

3

x
∴直线BF的方程为y=±

4

3

（x-5），
①若直线BF的方程为y=

4

3

（x-5），与渐近线y=-

4

3

x交于点B（

5

2

，-

10

3

）
此时S_△AFB=

1

2

|AF|•|y_B|=

1

2

•2•

10

3

=

10

3

；
②若直线BF的方程为y=-

4

3

（x-5），与渐近线y=

4

3

x交点B（

5

2

，

10

3

）
此时S_△AFB=

1

2

|AF|•|y_B|=

1

2

•2•

10

3

=

10

3

．
因此，△AFB的面积为

10

3

故答案为：

10

3

点评：本题给出双曲线右顶点为A，过右焦点F与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于B，求△ABF的面积，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的知识，属于中档题．