Question

（2012•湖北模拟）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数根据此教据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：

分组	频数	频率	奖品价值（元）
[10，25）	5	0.25	20
[15，20）	12	n	40
[20，25）	m	p	60
[25，30）	1	0.05	80
合计	M	1

（I）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）学校决定对参加社区服务的这M名学生进行表彰，对参加活动次数在[25，30），[20，25），[15，20），[10，15）区间的学生依次发放价值80元，60元、40元、20元的学习用品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为此二人所获得用品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E（X）．

Answer 1

分析：（I）由题设知

5

M

=0.25，

12

M

=n，

m

M

=p，

1

M

=0.05，5+12+m+1=M，由此能求出表中M，p及图中a的值．
（Ⅱ）所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值X可能为0元、20元、40元、60元，分别求出P（X=0），P（X=20），P（X=40），P（X=60）的值，由此能求出X的分布列和EX．

解答：解：（I）由题设知

5

M

=0.25，

12

M

=n，

m

M

=p，

1

M

=0.05，
∵5+12+m+1=M，
∴M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
∴[15，20]组的频率与组距之比a为0.12．
（Ⅱ）所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值X可能为0元、20元、40元、60元，
则P（X=0）=

C 2 5 + C 2 12 + C 2 2

C 2 20

=

10+66+1

190

=

77

190

，
P（X=20）=

C 1 5 • C 1 12 + C 1 12 •  C 1 2 + C 1 2 • C 1 1

C 2 20

=

86

190

，
P（X=40）=

C 1 5 • C 1 2 + C 1 12 • C 1 1

C 2 20

=

22

190

，
P（X=60）=

C 1 5 • C 1 1

C 2 20

=

5

190

，
∴X的分布列为：

X	0	20	40	60
P	77 190	86 190	22 190	5 190

∴EX=0×

77

190

+20×

86

190

+40×

22

190

+60×

5

190

=

290

19

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．