Question

【题目】已知函数，.

（1）若时，求函数的最小值；

（2）若函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）代入，得，求导，利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数的最小值；

（2）现求导数，函数既有极大值又有极小值，等价于有两个零点，可分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性和极值，得到函数有极大值和极小值的条件，即可求解实数的取值范围.

试题解析：

（1）当时，，定义域为.

，令，可得.

列表：

	-	0	+
		极小值

所以，函数的最小值为.

（2），定义域为，.

记，，，

①当时，，在上单调递增，

故在上至多有一个零点，

此时，函数在上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意；

②当时，令，可得，列表：

	+	0	-
		极大值

若，即，，即，

故函数在上单调递减，函数在上不存在极值，与题意不符，

若，即时，

由于，且 ，

故存在，使得，即，

且当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增，函数在处取极小值.

由于，且 （事实上，令， ，故在上单调递增，所以）.

故存在，使得，即，

且当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减，函数在处取极大值.

综上所述，当时，函数在上既有极大值又有极小值.