Question

如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点．
（1）若PA=2，求直线AE与PB所成角的余弦值；
（2）若PA=

3

，求证：平面ADE⊥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立如图所示直角坐标系．取AC的中点F，连接BF则BF⊥AC．根据题中数据可得A、B、C、P、E各点的坐标，从而得到向量

PB

、

AE

的坐标，再用空间向量的夹角公式加以计算，结合异面直线所成的角的定义即可得到直线AE与PB所成角的余弦值；
（2）设PA=

3

，可得向量

PB

、

PC

的坐标形式，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PBC的一个法向量为

n1

，同理得到平面ADE的一个法向量

n2

，由

n1

•

n2

=0，可得平面ADE⊥平面PBC．

解答：解（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC．以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（

3

，1，0），
C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
∴

PB

=（

3

，1，-2），

AE

=（0，1，1）
设直线AE、PB所成的角为θ，则cosθ=|

PB • AE

| PB |•| AE |

|=

1

4

，
即直线AE与PB所成角的余弦值为

1

4

；
（2）设PA=

3

，则P（0，0，

3

），可得

PB

=（

3

，1，-

3

），

PC

=（0，2，-

3

）
设平面PBC的法向量为

n1

=（x，y，z），
则

n1 • PB =0 n1 • PC =0

∴

3 x+y- 3 z=0 2y- 3 z=0

，
令z=2，得y=

3

，x=1．
可得

n1

=（1，

3

，2）是平面PBC的一个法向量，
∵D、E分别为PB、PC中点，
∴D（

3

2

，

1

2

，

3

2

），E（0，1，

3

2

）
因此，

AD

=（

3

2

，

1

2

，

3

2

），

AE

=（0，1，

3

2

），
类似求平面PBC法向量

n1

的方法，可得平面ADE的一个法向量

n2

=（-1，-

3

，2）
∵由

n1

•

n2

=1×(-1)+

3

×(-

3

)+2×2=0，
∴平面ADE⊥平面PBC．

点评：本题给出侧棱PA与底面△ABC垂直的三棱锥，求异面直线所成的角并在面面垂直的情况下求线段PA的长，着重考查了利用空间向量研究线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．