Question

【题目】给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆右焦点坐标为，且过点.

（1）求椭圆的“伴椭圆”方程；

（2）在椭圆的“伴椭圆”上取一点，过该点作椭圆的两条切线、，证明：两线垂直；

（3）在双曲线上找一点作椭圆的两条切线，分别交于切点、使得，求满足条件的所有点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或或或.

【解析】

(1) 利用和联立解方程可得;

(2) 设切线方程为:,代入椭圆的方程,利用判别式等于0,可得关于斜率的一元二次方程,利用韦达定理可得斜率之积为,从而可证两条切线垂直;

(3) 设经过点与椭圆相切的直线为:,代入椭圆的方程,利用判别式为0, 可得关于斜率的一元二次方程,然后根据斜率之积为可得点的轨迹方程为,最后联立此方程与双曲线方程可解得的坐标即可.

(1)依题意可得,,所以,①

又椭圆过点,所以 ②

由①②可得,

椭圆的“伴椭圆”方程为:.

(2)由(1)可得椭圆,

设切线方程为:,将其代入椭圆,消去并整理得:

,

由,

得,

设,的斜率为,则,

所以两条切线垂直.

(3)当两条切线的斜率存在时,设经过点与椭圆相切的直线为:,

则

消去并整理得,,

所以,

经过化简得到:,

设两条切线的斜率分别为,

则,

因为,所以,所以,

所以,

所以,

当两条切线的斜率不存在时,也满足,

所以的轨迹为椭圆的”伴随圆”,其方程为:,

联立,解得,

所以或或或,

所以满足条件的所有点的坐标为: 或或或.