Question

【题目】如图四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点.

（1）证明平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取中点，连接，，由三角形的中位线定理可得，结合已知条件说明四边形为平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；

（2）取的中点，连接，由得，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出即可得结果.

（1）证明：如图，取中点，连接，，

∵为的中点，∴，且，

又，且，

∴，且，

∴四边形为平行四边形，则，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）取的中点，连接，由得，

且，

以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意知：，，，，

，，，

设为平面的法向量，则,

即，可取，

于是，

∴直线与平面所成角的正弦值为.