Question

【题目】已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若x∈[0，]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．

Answer 1

【答案】（1）[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）见解析.

【解析】

试题（1）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到．（2）由x的范围，可得2x+ 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最值．

试题解析：

（1）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1 =sin2x+cos2x+2= sin（2x+ ）+2，

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

则kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

则有函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

（2）当x∈[0，]时，2x+ ∈[，]，

则有sin（2x+）∈[﹣1，1]，

则当x=时，f（x）取得最小值，且为1，

当x=时，f（x）取得最大值，且为+2