Question

设数列{a_n}是一个公差不为零的等差数列，已知它的前10项和为110，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若b_n=（n+1）a_n求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的前10项和为110，且a₁，a₂，a₄成等比数列，建立方程，求出首项与公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法，可求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵a₁，a₂，a₄成等比数列，∴a₂²=a₁a₄
∵{a_n}是等差数列，∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），化简得a₁=d
∵S₁₀=110，∴10a₁+45d=110
a₁=d，代入上式得55d=110，∴d=2，a_n=a₁+（n-1）d=2n
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n；
（2）

1

bn

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

(1-

1

n+1

)=

n

2n+2

．

点评：本题主要考查等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式以及等比中项等基础知识，考查裂项法的运用，考查运算能力和推理论证能力，属于中档题．