Question

【题目】在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在X轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．

求椭圆的标准方程；

过椭圆内一点的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线于点N，若，求证：为定值，并求出此定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由长轴为8，得，由两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，可得，从而可得结果；（2）设，由可得，代入椭圆方程得到,同理可得，利用韦达定理可得结果.

（1）因为长轴为8，所以，

又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，

所以，由于椭圆焦点在轴上，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）设，由

得，

所以，

，因为上，所以得到，

得到；

同理，由可得，

所以m，n可看作是关于x的方程的两个根，

所以，为定值.