Question

【题目】已知函数f（x）= ，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1 ， x2 ， 则x1x2的取值范围是（ ）
A.[4﹣2ln2，+∞）
B.（ ，+∞）
C.（﹣∞，4﹣2ln2]
D.（﹣∞， ）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0， ∴f（x）+1≥1，
∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
当x＜1，f（x）=1﹣ ＞ ，f（x）+1＞ ，
f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，
则f（x）+1=e﹣m ， f（x）=e﹣m﹣1，有两个根x1 ， x2 ， （不妨设x1＜x2），
当x≥1是，lnx2=e﹣m﹣1，当x＜1时，1﹣ =e﹣m﹣1，
令t=e﹣m﹣1＞ ，则lnx2=t，x2=et ， 1﹣ =t，x1=2﹣2t，
∴x1x2=et（2﹣2t），t＞ ，
设g（t）=et（2﹣2t），t＞ ，
求导g′（t）=﹣2tet ，
t∈（ ，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，
∴g（t）＜g（ ）= ，
∴g（x）的值域为（﹣∞， ），
∴x1x2取值范围为（﹣∞， ），
故选：D．