Question

（本小题满分12分）

设函数

(Ⅰ) 当时，求函数的最大值；

(Ⅱ)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

 

Answer 1

【答案】

(1) 的极大值为，此即为最大值；(2) 。

【解析】

试题分析：(1)依题意，知的定义域为(0，＋∞)，当时，，

……………2分

令＝0，解得．(∵)

当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．

所以的极大值为，此即为最大值 ……………4分

(2)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，

设，则．令，．

因为，， 所以(舍去)，，……  6分

当时，，在(0，)上单调递减，

当时，，在(，＋∞)单调递增

当时，＝0，取最小值．

则既……………10分

所以，因为，所以(*)

设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．

因为，所以方程(*)的解为，即，解得………12分

(直接看出x=1时，m=1/2但未证明唯一性的给3分)

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值及方程解的情况。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、最值情况，得出方程解的存在情况。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。