Question

某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入

1

6

（x²-600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入

1

5

x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为8-

x-25

1

×0.2，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；
（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8+50+

1

6

(x2-600)+

1

5

x有解，等价于x＞25时，a≥

150

x

+

1

6

x+

1

5

有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为8-

x-25

1

×0.2，根据销售的总收人不低于原收入，有(8-

x-25

1

×0.2)x≥25×8，（3分）
整理得x²-65x+1000≤0，
解得25≤x≤40． （5分）
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． （6分）
（Ⅱ）依题意，x＞25时，
不等式ax≥25×8+50+

1

6

(x2-600)+

1

5

x有解，（8分）
等价于x＞25时，a≥

150

x

+

1

6

x+

1

5

有解，（9分）
∵

150

x

+

1

6

x≥2

150 x • 1 6 x

=10（当且仅当x=30时，等号成立），（11分）
∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）
∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． （13分）

点评：解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．