Question

【题目】已知点，点为平面上动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过点的直线与轨迹交于两点，在处分别作轨迹的切线交于点，设直线的斜率分别为，，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）设P（x，y），则H（﹣1，y），通过向量的数量积求出动点P的轨迹C的方程．

（2）证明：设点M（x0，y0）（x0≠0）为轨迹C上一点，直线m：y=k0（x﹣x0）+y0为轨迹C的切线，联立在与椭圆方程，利用判别式求出其判别式，求出，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y=k（x﹣1），直线与抛物线方程，利用韦达定理求解斜率乘积即可．

试题解析：

（1）设，则，有，，，，从而由题意，得动点P的轨迹C的方程y2=4x．
（2）证明：设点（x0≠0）为轨迹C上一点，直线m：y=k0（x-x0）+y0为轨迹C的切线，有，消去x得，k0y24y4k0x0+y0＝0，其判别式△=16-4k0（-4k0x0+4y0）=0，解得，有m：，设

得根据

所以为定值.