Question

【题目】已知.在单位圆上有两个定点、，，是上一动点，在直线上存在一点，满足（为边的中点）.试求的最大值.

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，在优弧上取点，使.取中点，联结并延长交于点.作交于另一点.由中位线定理知.

下面对点分情况讨论.

（1）当时，设与交于点（为中点）.

由

.

因，所以，.

因此，.

（2）当时，同（1）知在上存在一点，满足

.

（3）当时，设交于点.

由知.

又，则点在的延长线上，且.

从而满足的点在的外接圆上.但与该圆的两个交点为、，故在直线上没有点满足.

（4）当时，同（3）知不存在满足条件的点.

（5）当时，类似（1）知在上存在一点，满足 .

综上，当时，存在满足条件的点.

如图，作交于点，交于点.则.

由上面的证明知，满足的点在以为直径的圆上.故

.