Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D^′，且平面D^′AE⊥平面ABCE

（Ⅰ）求证：AD^′⊥EB；
（Ⅱ）求二面角D^′-AC-B的大小；
（Ⅲ）求点C到面D^′BE的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证AD^′⊥EB，只需证明EB⊥平面AD′E，只需证明AE⊥EB，MD′⊥BE即可；
（Ⅱ）过M作MN⊥AC于N，连接D′N，则∠MND′为二面角D^′-AC-B的大小，通过解三角形即可求二面角D^′-AC-B的大小；
（Ⅲ）利用V_D′-BCE=V_C-BED′，体积相等直接求点C到面D^′BE的距离．

解答：解：如图所示：
（Ⅰ）证明：因为AE=EB=

2

，AB=2，所以AB²=AE²+BE²，即AE⊥EB，
取AE的中点M，连接MD′，则AD=D′E⇒MD′⊥AE，
又平面D′AE⊥平面ABCE，可得MD′⊥平面ABCE，即得MD′⊥BE，
从而EB⊥平面AD′E，故AD′⊥EB            …（4分）
（Ⅱ）过M作MN⊥AC于N，连接D′N，则∠MND′为二面角D^′-AC-B的大小，
MN=

1

2

EQ=

1

4

×

2

5

=

5

10

；DM=

2

2

，
二面角D^′-AC-B的大小为tan∠MND′=

2 2

5 10

=

10

，
所以∠MND′=arctan

10

； …（8分）
（Ⅲ）因为V_D′-BCE=V_C-BED′，
即

1

3

×SBED′×h=

1

3

×SBCE×DM，
h=

1 2 ×1×1× 2 2

1 2 ×1× 2

=

1

2

，
点C到面BED′的距离是0.5．…（12分）

点评：本题是中档题，考查直线与直线的垂直的证明，二面角的求法，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．