Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PB．底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，点M是AB的中点，点E在棱QD上，满足DE=2PE．求证：
（1）平面PAB⊥平面PMC；
（2）直线PB∥平面EMC．

Answer 1

分析：（1）根据已知中，PA=PB．底面ABCD是菱形点M是AB的中点，根据等边三角形的‘三线合一’的性质，我们易得到AB⊥平面PMC，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）连BD交MC于F，连EF，由CD=2BM，CD∥BM，我们可以得到△CDF∽△MBF，根据三角形相似的性质，可以得到DF=2BF．再根据DE=2PE，结合平行线分线段成比例定理，易判断EF∥PB，结合线面平行的判定定理，即可得到结论．

解答：解：（1）∵PA=PB，M是AB的中点．
∴PM⊥AB．（2分）
∵底面ABCD是菱形，∴AB=AC．
∵∠ABC=60°．
∴△ABC是等边三角形．
则CM⊥AB．（4分）
∵PM∩CM=M，
∴AB⊥平面PMC．（6分）
∵AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PMC．（8分）
（2）连BD交MC于F，连EF．

由CD=2BM，CD∥BM，易得△CDF∽△MBF．
∴DF=2BF．（10分）
∵DE=2PE，∴EF∥PB．（12分）
∵EF?平面EMC，PB?平面EMC，∴PB∥平面EMC．（14分）

点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握直线与平面垂直及直线与平面平行的判定定理及证明步骤是解答本题的关键．