Question

【题目】已知函数，，

（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；

（2）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．

（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．

（1）由题意，函数，，

令t=x2，则t∈[1，3]，则，

要使得函数f（x）有两个零点，即函数y=h（t）与y=a有两个交点，

因为，当t∈（1，2）时，＜0；当t∈（2，3）时，＞0，

所以函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，

从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，

由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，

所以函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．

（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，

当m=0时，，显然成立；

当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，所以，

记，

由对任意的，总存在，使成立，可得，

所以且，解得，

当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，所以，

所以且，截得，

综上，所求实数m的取值范围为．