Question

【题目】给定一个数列{an}，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N*）项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列{an}的一个m阶子数列．
已知数列{an}的通项公式为an= （n∈N* ， a为常数），等差数列a2 ， a3 ， a6是数列{an}的一个3子阶数列．
（1）求a的值；
（2）等差数列b1 ， b2 ， …，bm是{an}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1= （k为常数，k∈N* ， k≥2），求证：m≤k+1
（3）等比数列c1 ， c2 ， …，cm是{an}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c1+…+cm≤2﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a2，a3，a6成等差数列，

∴a2﹣a3=a3﹣a6．

又∵a2= ，a3= ，a6= ，

代入得 ﹣ = ﹣ ，解得a=0

（2）证明：设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．

∵b1= ，∴b2≤ ，

从而d=b2﹣b1≤ ﹣ =﹣ ．

∴bm=b1+（m﹣1）d≤ ﹣ ．

又∵bm＞0，∴ ﹣ ＞0．

即m﹣1＜k+1．

∴m＜k+2．

又∵m，k∈N*，∴m≤k+1．

（3）证明：设c1= （t∈N*），等比数列c1，c2，…，cm的公比为q．

∵c2≤ ，∴q= ≤ ．

从而cn=c1qn﹣1≤ （1≤n≤m，n∈N*）．

∴c1+c2+…+cm≤ + + +…+

= ，

设函数f（x）=x﹣ ，（m≥3，m∈N*）．

当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=x﹣ 为单调增函数．

∵当t∈N*，∴1＜ ≤2．∴f（ ）≤2﹣ ．

即 c1+c2+…+cm≤2﹣ ．

【解析】（1）利用等差数列的定义及其性质即可得出；（2）设等差数列b1 ， b2 ， …，bm的公差为d．由b1= ，可得b2≤ ，再利用等差数列的通项公式及其不等式的性质即可证明；（3）设c1= （t∈N*），等比数列c1 ， c2 ， …，cm的公比为q．由c2≤ ，可得q= ≤ ．从而cn=c1qn﹣1≤ （1≤n≤m，n∈N*）．再利用等比数列的前n项和公式、函数的单调性即可得出．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和等差数列的性质，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列即可以解答此题．