Question

【题目】在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角的平面角,再设出的长,

即可求出三棱锥的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥的外接球的表面积.

如图所示：

过点作面,垂足为,过点作交于点,连接.

则为二面角的平面角的补角,即有.

∵易证面,∴,而三角形为等边三角形, ∴为的中点.

设, .

∴.

故三棱锥的体积为

当且仅当时,,即.

∴三点共线.

设三棱锥的外接球的球心为,半径为.

过点作于,∴四边形为矩形.

则,,,

在中,,解得.

三棱锥的外接球的表面积为.

故答案为：．