Question

下列命题：
①设函数f（x）=g（x）+x²，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为-

1

2

；
②关于x的不等式（a-3）x²＜（4a-2）x对任意的a∈（0，1）恒成立，则x的取值范围是(-∞，-1]∪[

2

3

，+∞)，
③变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），r₁表示变量Y与X之间的线性相关系数，r₂表示变量V与U之间的线性相关系数，则r₂＜0＜r₁；
④下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

根据上表提供的数据，得出y关于x的线性回归方程为y=a+0.7x，则a=-0.35；
以上命题正确的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

①中，f′（x）=g′（x）+2x．
∵y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，
∴g′（1）=2，∴f′（1）=g′（1）+2×1=2+2=4，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为4，
故①错误．
②中，不等式（a-3）x²＜（4a-2）x即（x²-4x）a-3x²+2x＜0，
令g（a）=（x²-4x）a-3x²+2x，a∈（0，1）
由题意可得g（a）＜0在a∈（0，1）恒成立，结合一次函数的单调性可得

g(0)≤0 g(1)≤0

，即

-3x2+2x≤0 -2x2-2x≤0

，解不等式组可得x≤-1或x≥

2

3

，
∴x的取值范围是(-∞，-1]∪[

2

3

，+∞)，
故②正确；
③中，∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），

.

X

=

10+11.3+11.8+12.5+13.5

5

11.72，

.

Y

=

1+2+3+4+5

5

=3，
∴这组数据的相关系数是r=

7.2

19.172

=0.3755，
变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）

.

V

=

5+4+3+2+1

5

=3，
∴这组数据的相关系数是-0.3755，
∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，即r₂＜0＜r₁，
故③正确；
④中，由对照数据，计算得

4

i=1

xi2=86，

.

x

=

3+4+5+6

4

=4.5，

.

y

=

2.5+3+4+4.5

4

=3.5，

4

i=1

xiyi=66.5，4

.

x

.

•y

=63，4

.

x

2=81，
∴求得回归方程的系数为b=0.7，a=0.35，
∴所求线性回归方程为y=0.7x+0.35，
故④错误；
故选C．