Question

（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，点是棱的中点，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角

Answer 1

解： （1）证明：连结AC₁交A₁C于点G，连结DG，

在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

四边形ACC₁A₁是平行四边形，

∴AG=GC₁，

∵AD=DB，

∴DG//BC₁            …………2分

∵DG平面A₁DC，BC₁平面A₁DC，

∴BC₁//平面A₁DC      …………4分

   （II）解法一：过D作DE⊥AC交AC于E，

过点D作DF⊥A₁C交A₁C于F，连结EF。

∵平面ABC⊥面平ACC₁A₁，DE平面ABC，

平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，

∴DE⊥平ACC₁A₁，

∴EF是DF在平面ACC₁A₁内的射影。

∴EF⊥A₁C，

∴∠DFE是二面角D—A₁C—A的平面角，     ………………8分

在直角三角形ADC中，

同理可求：

    ………………12分

解法二：过点A作AO⊥BC交BC于O，过点O作OE⊥BC交B₁C₁于E。

因为平面ABC⊥平面CBB₁C_{1  ，}所以AO⊥平面CBB₁C₁，

分别以CB、OE、OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示

因为BC=1，AA₁=，△ABC是等边三角形，所以O为BC的中点，则

   …………6分

设平面A₁DC的法向量为

则

 

取得平面的一个法向量为   ………………8分

可求平面ACA₁的一个法向量为        ………………10分

设二面角D—A₁C—A的大小为，

则

               ………………12分