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    【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

    （1）写出直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

    （2）已知定点，直线与曲线C分别交于P、Q两点，求的值.

    【答案】（1）的普通方程为,曲线C的直角坐标方程为

    （2）3

    【解析】

    （1）由可化极坐标方程为直角坐标方程，用消元法可化参数方程为普通方程；

    （2）直线的参数方程为正好是标准参数方程，参数表示直线上的点到点距离的绝对值，直接把直线参数方程代入曲线的直角坐标方程应用韦达定理易求得结论．

    解：（1）由消去参数t得直线的普通方程为.

    由得曲线C的直角坐标方程为.

    （2）将代入得.

    设方程的两根为，，则，，，

    故.

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    短潜伏者

    长潜伏者

    合计

    60岁及以上

    90

    60岁以下

    140

    合计

    300

    （1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；

    （2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：

    （3）研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望.

    附表及公式：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，下顶点为P，过点的动直线l交椭圆C于A，B两点.

    （1）当直线l平行于x轴时，P，F，A三点共线，且，求椭圆C的方程；

    （2）当椭圆C的离心率为何值时，对任意的动直线l，总有？

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    【题目】设为给定的大于2的正整数，集合，已知数列：，，…，满足条件：

    ①当时，；

    ②当时，.

    如果对于，有，则称为数列的一个逆序对.记数列的所有逆序对的个数为.

    （1）若，写出所有可能的数列；

    （2）若，求数列的个数；

    （3）对于满足条件的一切数列，求所有的算术平均值.

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    【题目】某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，开展了网上消防安全知识有奖竞赛活动，并对参加活动的男生、女生各随机抽取20人，统计答题成绩，分别制成如下频率分布直方图和茎叶图：

    （1）把成绩在80分以上（含80分）的同学称为“安全通”.根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为是否是“安全通”与性别有关

    男生

    女生

    合计

    安全通

    非安全通

    合计

    （2）以样本的频率估计总体的概率，现从该校随机抽取2男2女，设其中“安全通”的人数为，求的分布列与数学期望.

    附：参考公式，其中.

    参考数据：

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    0.005

    		0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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