Question

家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，其中Q₀是臭氧的初始量．
（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？

Answer 1

解：（1）∵Q₀＞0，，e＞1，∴为减函数．（3分）
∴随时间的增加，臭氧的含量是减少．（6分）
（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则，
即，（8分）
两边取自然对数得，，（10分）
解得x=400ln2≈278．（11分）
∴278年以后将会有一半的臭氧消失．（12分）
分析：（1）本题中的函数关系是一个指数型函数模型，由于其指数为负数，初值为正数，由指数型函数的特征知其是一个减函数．
（2）知函数值变成了原来的一半求自变量，将函数值代入得到关于自变量的方程，解指数方程求年数，本方程在求解时因为未知数在指数上，故应采取两边取对数的方法将指数方程转化为一次方程求x的值．
点评：本题考查指数型函数，利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质，以及解指数型方程，解此类方程时一般是用两边取对数的方法把指数方程转化为一元一次方程或者是一元二次方程求值．