Question

已知F₁，F₂分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=-与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．
（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；
（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由于，
∴
解得a²=2，b²=1，从而所求椭圆的方程为=1．
∵三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由消去x得，即．
根据条件可知解得，依题意取．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，得，
又由，得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
，∴从而
从而消去y₂得．
令，则．
由于，所以φ'（λ）＜0．
∴φ（λ）是区间上的减函数，从而，
即，∴，解得，而，∴．
故直线AB的斜率的取值范围是．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），则可得切线PA的方程是，
而点A（x₁，y₁）在此切线上，有即x₀x₁+2y₀y₁=x₁²+2y₁²，
又∵A在椭圆上，∴有x₀x₁+2y₀y=2，①同理可得x₀x₂+2y₀y₂=2．②
根据①和②可知直线AB的方程为，x₀x+2y₀y=2，而直线AB过定点N（-2，0），∴-2x₀=2?x₀=-1，
因此，点P恒在直线x=-1上运动．
分析：（1）依据题意联立方程求得a，b，则拖得方程可得．根据判断出A，B，N三点共线，进而设出直线AB的方程，与椭圆的方程联立消去x，根据判别式大于0求得k的范围，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，可表示出y₁+y₂和y₁y₂，利用求得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），联立方程组消去y₂，求得λ和k的关系，令进而进行求导，推断函数的单调性，根据λ的范围求得k的范围．
（2）设出P的坐标，进而求得PA的方程，把点A代入，同时代入椭圆的方程，推断出直线AB的方程，根据其过定点求得x₀，进而推断出点P恒在直线x=-1上运动．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，故此类问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，平时应作为重点来复习训练．