Question

在边长是2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，A₁C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
（1）求EF的长
（2）证明：EF∥平面AA₁D₁D；
（3）证明：EF⊥平面A₁CD．

Answer 1

分析：（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量

EF

的坐标表示，代入长度公式求解；
（2）求出

AD1

的坐标表示，关键坐标关系判断EF∥AD₁，再利用线面平行的判定定理证明；
（3）利用

CD

•

EF

=0，

EF

•

A1D

=0，可证直线EF垂直于CD、A₁D，再利用线面垂直的判定定理证明．

解答：解：（1）如图建立空间直角坐标系，则A₁（2，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），D（0，0，0），
∵E，F分别为AB，A₁C的中点，∴E（2，1，0），F（1，1，1），

EF

=（-1，0，1），
∴|

EF

|=

1+0+1

=

2

．
（2）∵

AD1

=（-2，0，2）=2

EF

，∴EF∥AD₁，
又AD₁?平面AA₁D₁D，EF?平面AA₁D₁D，
∴EF∥平面AA₁D₁D．
（3）

CD

=（0，-2，0），

A1D

=（-2，0，-2），
∵

CD

•

EF

=0，

EF

•

A1D

=0，∴EF⊥CD，EF⊥A₁D，又CD∩A₁D=D，
∴EF⊥平面A₁CD．

点评：本题考查用空间向量坐标运算求线段长，证明线面平行，证明线面垂直．用向量方法求解立体几何问题，简洁明了，关键是建立适当的空间直角坐标系，求相关点与向量的坐标．